Data Structures- Space and Time Complexity
Observing the time complexity of different algorithms
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- Space and Time Complexity
- Constant O(1)
- Linear O(n)
- Quadratic O(n^2)
- Logarithmic O(logn)
- Exponential O(2^n)
- Hacks
Space and Time Complexity
Space complexity refers to the amount of memory used by an algorithm to complete its execution, as a function of the size of the input. The space complexity of an algorithm can be affected by various factors such as the size of the input data, the data structures used in the algorithm, the number and size of temporary variables, and the recursion depth. Time complexity refers to the amount of time required by an algorithm to run as the input size grows. It is usually measured in terms of the "Big O" notation, which describes the upper bound of an algorithm's time complexity.
Why do you think a programmer should care about space and time complexity?
- ?
Take a look at our lassen volcano example from the data compression tech talk. The first code block is the original image. In the second code block, change the baseWidth to rescale the image.
from IPython.display import Image, display
from pathlib import Path
# prepares a series of images
def image_data(path=Path("images/"), images=None): # path of static images is defaulted
for image in images:
# File to open
image['filename'] = path / image['file'] # file with path
return images
def image_display(images):
for image in images:
display(Image(filename=image['filename']))
if __name__ == "__main__":
lassen_volcano = image_data(images=[{'source': "Peter Carolin", 'label': "Lassen Volcano", 'file': "lassen-volcano.jpg"}])
image_display(lassen_volcano)
from IPython.display import HTML, display
from pathlib import Path
from PIL import Image as pilImage
from io import BytesIO
import base64
# prepares a series of images
def image_data(path=Path("images/"), images=None): # path of static images is defaulted
for image in images:
# File to open
image['filename'] = path / image['file'] # file with path
return images
def scale_image(img):
#baseWidth = 625
#baseWidth = 1250
#baseWidth = 2500
baseWidth = 5000 # see the effect of doubling or halfing the baseWidth
#baseWidth = 10000
#baseWidth = 20000
#baseWidth = 40000
scalePercent = (baseWidth/float(img.size[0]))
scaleHeight = int((float(img.size[1])*float(scalePercent)))
scale = (baseWidth, scaleHeight)
return img.resize(scale)
def image_to_base64(img, format):
with BytesIO() as buffer:
img.save(buffer, format)
return base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode()
def image_management(image): # path of static images is defaulted
# Image open return PIL image object
img = pilImage.open(image['filename'])
# Python Image Library operations
image['format'] = img.format
image['mode'] = img.mode
image['size'] = img.size
image['width'], image['height'] = img.size
image['pixels'] = image['width'] * image['height']
# Scale the Image
img = scale_image(img)
image['pil'] = img
image['scaled_size'] = img.size
image['scaled_width'], image['scaled_height'] = img.size
image['scaled_pixels'] = image['scaled_width'] * image['scaled_height']
# Scaled HTML
image['html'] = '<img src="data:image/png;base64,%s">' % image_to_base64(image['pil'], image['format'])
if __name__ == "__main__":
# Use numpy to concatenate two arrays
images = image_data(images = [{'source': "Peter Carolin", 'label': "Lassen Volcano", 'file': "lassen-volcano.jpg"}])
# Display meta data, scaled view, and grey scale for each image
for image in images:
image_management(image)
print("---- meta data -----")
print(image['label'])
print(image['source'])
print(image['format'])
print(image['mode'])
print("Original size: ", image['size'], " pixels: ", f"{image['pixels']:,}")
print("Scaled size: ", image['scaled_size'], " pixels: ", f"{image['scaled_pixels']:,}")
print("-- original image --")
display(HTML(image['html']))
--------------------------------------------------------------------------- AttributeError Traceback (most recent call last) /home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb Cell 6 in <cell line: 52>() <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=55'>56</a> # Display meta data, scaled view, and grey scale for each image <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=56'>57</a> for image in images: ---> <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=57'>58</a> image_management(image) <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=58'>59</a> print("---- meta data -----") <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=59'>60</a> print(image['label']) /home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb Cell 6 in image_management(image) <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=31'>32</a> def image_management(image): # path of static images is defaulted <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=32'>33</a> # Image open return PIL image object ---> <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=33'>34</a> img = pilImage.open(image['filename']) <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=35'>36</a> # Python Image Library operations <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#W5sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=36'>37</a> image['format'] = img.format File ~/anaconda3/lib/python3.9/site-packages/PIL/Image.py:1978, in open(fp, mode) 1975 else: 1976 filename = "" -> 1978 prefix = fp.read(16) 1980 preinit() 1982 for i in ID: AttributeError: 'PosixPath' object has no attribute 'read'
Do you think this is a time complexity or space complexity or both problem?
- ?
numbers = list(range(1000))
print(numbers)
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479, 480, 481, 482, 483, 484, 485, 486, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493, 494, 495, 496, 497, 498, 499, 500, 501, 502, 503, 504, 505, 506, 507, 508, 509, 510, 511, 512, 513, 514, 515, 516, 517, 518, 519, 520, 521, 522, 523, 524, 525, 526, 527, 528, 529, 530, 531, 532, 533, 534, 535, 536, 537, 538, 539, 540, 541, 542, 543, 544, 545, 546, 547, 548, 549, 550, 551, 552, 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559, 560, 561, 562, 563, 564, 565, 566, 567, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 576, 577, 578, 579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 590, 591, 592, 593, 594, 595, 596, 597, 598, 599, 600, 601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 608, 609, 610, 611, 612, 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619, 620, 621, 622, 623, 624, 625, 626, 627, 628, 629, 630, 631, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638, 639, 640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648, 649, 650, 651, 652, 653, 654, 655, 656, 657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666, 667, 668, 669, 670, 671, 672, 673, 674, 675, 676, 677, 678, 679, 680, 681, 682, 683, 684, 685, 686, 687, 688, 689, 690, 691, 692, 693, 694, 695, 696, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 704, 705, 706, 707, 708, 709, 710, 711, 712, 713, 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 722, 723, 724, 725, 726, 727, 728, 729, 730, 731, 732, 733, 734, 735, 736, 737, 738, 739, 740, 741, 742, 743, 744, 745, 746, 747, 748, 749, 750, 751, 752, 753, 754, 755, 756, 757, 758, 759, 760, 761, 762, 763, 764, 765, 766, 767, 768, 769, 770, 771, 772, 773, 774, 775, 776, 777, 778, 779, 780, 781, 782, 783, 784, 785, 786, 787, 788, 789, 790, 791, 792, 793, 794, 795, 796, 797, 798, 799, 800, 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809, 810, 811, 812, 813, 814, 815, 816, 817, 818, 819, 820, 821, 822, 823, 824, 825, 826, 827, 828, 829, 830, 831, 832, 833, 834, 835, 836, 837, 838, 839, 840, 841, 842, 843, 844, 845, 846, 847, 848, 849, 850, 851, 852, 853, 854, 855, 856, 857, 858, 859, 860, 861, 862, 863, 864, 865, 866, 867, 868, 869, 870, 871, 872, 873, 874, 875, 876, 877, 878, 879, 880, 881, 882, 883, 884, 885, 886, 887, 888, 889, 890, 891, 892, 893, 894, 895, 896, 897, 898, 899, 900, 901, 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909, 910, 911, 912, 913, 914, 915, 916, 917, 918, 919, 920, 921, 922, 923, 924, 925, 926, 927, 928, 929, 930, 931, 932, 933, 934, 935, 936, 937, 938, 939, 940, 941, 942, 943, 944, 945, 946, 947, 948, 949, 950, 951, 952, 953, 954, 955, 956, 957, 958, 959, 960, 961, 962, 963, 964, 965, 966, 967, 968, 969, 970, 971, 972, 973, 974, 975, 976, 977, 978, 979, 980, 981, 982, 983, 984, 985, 986, 987, 988, 989, 990, 991, 992, 993, 994, 995, 996, 997, 998, 999]
print(numbers[999])
ncaa_bb_ranks = {1:"Alabama",2:"Houston", 3:"Purdue", 4:"Kansas"}
#look up a value in a dictionary given a key
print(ncaa_bb_ranks[4])
999 Kansas
Space
This function takes two number inputs and returns their sum. The function does not create any additional data structures or variables that are dependent on the input size, so its space complexity is constant, or O(1). Regardless of how large the input numbers are, the function will always require the same amount of memory to execute.
def sum(a, b):
return a + b
print(sum(90,88))
print(sum(.9,.88))
178 1.78
Time
An example of a linear time algorithm is traversing a list or an array. When the size of the list or array increases, the time taken to traverse it also increases linearly with the size. Hence, the time complexity of this operation is O(n), where n is the size of the list or array being traversed.
for i in numbers:
print(i)
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Space
This function takes a list of elements arr as input and returns a new list with the elements in reverse order. The function creates a new list reversed_arr of the same size as arr to store the reversed elements. The size of reversed_arr depends on the size of the input arr, so the space complexity of this function is O(n). As the input size increases, the amount of memory required to execute the function also increases linearly.
def reverse_list(arr):
n = len(arr)
reversed_arr = [None] * n #create a list of None based on the length or arr
for i in range(n):
reversed_arr[n-i-1] = arr[i] #stores the value at the index of arr to the value at the index of reversed_arr starting at the beginning for arr and end for reversed_arr
return reversed_arr
print(numbers)
print(reverse_list(numbers))
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 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622, 623, 624, 625, 626, 627, 628, 629, 630, 631, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638, 639, 640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648, 649, 650, 651, 652, 653, 654, 655, 656, 657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666, 667, 668, 669, 670, 671, 672, 673, 674, 675, 676, 677, 678, 679, 680, 681, 682, 683, 684, 685, 686, 687, 688, 689, 690, 691, 692, 693, 694, 695, 696, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 704, 705, 706, 707, 708, 709, 710, 711, 712, 713, 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 722, 723, 724, 725, 726, 727, 728, 729, 730, 731, 732, 733, 734, 735, 736, 737, 738, 739, 740, 741, 742, 743, 744, 745, 746, 747, 748, 749, 750, 751, 752, 753, 754, 755, 756, 757, 758, 759, 760, 761, 762, 763, 764, 765, 766, 767, 768, 769, 770, 771, 772, 773, 774, 775, 776, 777, 778, 779, 780, 781, 782, 783, 784, 785, 786, 787, 788, 789, 790, 791, 792, 793, 794, 795, 796, 797, 798, 799, 800, 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809, 810, 811, 812, 813, 814, 815, 816, 817, 818, 819, 820, 821, 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Time
An example of a quadratic time algorithm is nested loops. When there are two nested loops that both iterate over the same collection, the time taken to complete the algorithm grows quadratically with the size of the collection. Hence, the time complexity of this operation is O(n^2), where n is the size of the collection being iterated over.
for i in numbers:
for j in numbers:
print(i,j)
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504 702 504 703 504 704 504 705 504 706 504 707 504 708 504 709 504 710 504 711 504 712 504 713 504 714 504 715 504 716 504 717 504 718 504 719 504 720 504 721 504 722 504 723 504 724 504 725 504 726 504 727 504 728 504 729 504 730 504 731 504 732 504 733 504 734 504 735 504 736 504 737 504 738 504 739 504 740 504 741 504 742 504 743 504 744 504 745 504 746 504 747 504 748 504 749 504 750 504 751 504 752 504 753 504 754 504 755 504 756 504 757 504 758 504 759 504 760 504 761 504 762 504 763 504 764 504 765 504 766 504 767 504 768 504 769 504 770 504 771 504 772 504 773 504 774 504 775 504 776 504 777 504 778 504 779 504 780 504 781 504 782 504 783 504 784 504 785 504 786 504 787 504 788 504 789 504 790 504 791 504 792 504 793 504 794 504 795 504 796 504 797 504 798 504 799 504 800 504 801 504 802 504 803 504 804 504 805 504 806 504 807 504 808 504 809 504 810 504 811 504 812 504 813 504 814 504 815 504 816 504 817 504 818 504 819 504 820 504 821 504 822 504 823 504 824 504 825 504 826 504 827 504 828 504 829 504 830 504 831 504 832 504 833 504 834 504 835 504 836 504 837 504 838 504 839 504 840 504 841 504 842 504 843 504 844 504 845 504 846 504 847 504 848 504 849 504 850 504 851 504 852 504 853 504 854 504 855 504 856 504 857 504 858 504 859 504 860 504 861 504 862 504 863 504 864 504 865 504 866 504 867 504 868 504 869 504 870 504 871 504 872 504 873 504 874 504 875 504 876 504 877 504 878 504 879 504 880 504 881 504 882 504 883 504 884 504 885 504 886 504 887 504 888 504 889 504 890 504 891 504 892 504 893 504 894 504 895 504 896 504 897 504 898 504 899 504 900 504 901 504 902 504 903 504 904 504 905 504 906 504 907 504 908 504 909 504 910 504 911 504 912 504 913 504 914 504 915 504 916 504 917 504 918 504 919 504 920 504 921 504 922 504 923 504 924 504 925 504 926 504 927 504 928 504 929 504 930 504 931 504 932 504 933 504 934 504 935 504 936 504 937 504 938 504 939 504 940 504 941 504 942 504 943 504 944 504 945 504 946 504 947 504 948 504 949 504 950 504 951 504 952 504 953 504 954 504 955 504 956 504 957 504 958 504 959 504 960 504 961 504 962 504 963 504 964 504 965 504 966 504 967 504 968 504 969 504 970 504 971 504 972 504 973 504 974 504 975 504 976 504 977 504 978 504 979 504 980 504 981 504 982 504 983 504 984 504 985 504 986 504 987 504 988 504 989 504 990 504 991 504 992 504 993 504 994 504 995 504 996 504 997 504 998 504 999 505 0 505 1 505 2 505 3 505 4 505 5 505 6 505 7 505 8 505 9 505 10 505 11 505 12 505 13 505 14 505 15 505 16 505 17 505 18 505 19 505 20 505 21 505 22 505 23 505 24 505 25 505 26 505 27 505 28 505 29 505 30 505 31 505 32 505 33 505 34 505 35 505 36 505 37 505 38 505 39 505 40 505 41 505 42 505 43 505 44 505 45 505 46 505 47 505 48 505 49 505 50 505 51 505 52 505 53 505 54 505 55 505 56 505 57 505 58 505 59 505 60 505 61 505 62 505 63 505 64 505 65 505 66 505 67 505 68 505 69 505 70 505
--------------------------------------------------------------------------- KeyboardInterrupt Traceback (most recent call last) /home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb Cell 22 in <cell line: 2>() <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#X30sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=1'>2</a> for i in numbers: <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#X30sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=2'>3</a> for j in numbers: ----> <a href='vscode-notebook-cell://wsl%2Bubuntu/home/annikaliao/vscode/annika/_notebooks/2023-03-22-DS-space_time_complexity.ipynb#X30sdnNjb2RlLXJlbW90ZQ%3D%3D?line=3'>4</a> print(i,j) File ~/anaconda3/lib/python3.9/site-packages/ipykernel/iostream.py:531, in OutStream.write(self, string) 529 is_child = (not self._is_master_process()) 530 # only touch the buffer in the IO thread to avoid races --> 531 self.pub_thread.schedule(lambda: self._buffer.write(string)) 532 if is_child: 533 # mp.Pool cannot be trusted to flush promptly (or ever), 534 # and this helps. 535 if self._subprocess_flush_pending: File ~/anaconda3/lib/python3.9/site-packages/ipykernel/iostream.py:216, in IOPubThread.schedule(self, f) 214 self._events.append(f) 215 # wake event thread (message content is ignored) --> 216 self._event_pipe.send(b'') 217 else: 218 f() File ~/anaconda3/lib/python3.9/site-packages/zmq/sugar/socket.py:547, in Socket.send(self, data, flags, copy, track, routing_id, group) 540 data = zmq.Frame( 541 data, 542 track=track, 543 copy=copy or None, 544 copy_threshold=self.copy_threshold, 545 ) 546 data.group = group --> 547 return super(Socket, self).send(data, flags=flags, copy=copy, track=track) File zmq/backend/cython/socket.pyx:718, in zmq.backend.cython.socket.Socket.send() File zmq/backend/cython/socket.pyx:765, in zmq.backend.cython.socket.Socket.send() File zmq/backend/cython/socket.pyx:242, in zmq.backend.cython.socket._send_copy() File ~/anaconda3/lib/python3.9/site-packages/zmq/backend/cython/checkrc.pxd:13, in zmq.backend.cython.checkrc._check_rc() KeyboardInterrupt:
Space
This function takes two matrices matrix1 and matrix2 as input and returns their product as a new matrix. The function creates a new matrix result with dimensions m by n to store the product of the input matrices. The size of result depends on the size of the input matrices, so the space complexity of this function is O(n^2). As the size of the input matrices increases, the amount of memory required to execute the function also increases quadratically.
![Example of Matrix Multiplication]
- Main take away is that a new matrix is created.
def multiply_matrices(matrix1, matrix2):
m = len(matrix1)
n = len(matrix2[0])
result = [[0] * n] * m #this creates the new matrix based on the size of matrix 1 and 2
for i in range(m):
for j in range(n):
for k in range(len(matrix2)):
result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
return result
print(multiply_matrices([[1,2],[3,4]], [[3,4],[1,2]]))
[[18, 28], [18, 28]]
Time
An example of a log time algorithm is binary search. Binary search is an algorithm that searches for a specific element in a sorted list by repeatedly dividing the search interval in half. As a result, the time taken to complete the search grows logarithmically with the size of the list. Hence, the time complexity of this operation is O(log n), where n is the size of the list being searched.
def binary_search(arr, low, high, target):
while low <= high:
mid = (low + high) // 2 #integer division
if arr[mid] == target:
return mid
elif arr[mid] < target:
low = mid + 1
else:
high = mid - 1
target = 263
result = binary_search(numbers, 0, len(numbers) - 1, target)
print(result)
263
Space
The same algorithm above has a O(logn) space complexity. The function takes an array arr, its lower and upper bounds low and high, and a target value target. The function searches for target within the bounds of arr by recursively dividing the search space in half until the target is found or the search space is empty. The function does not create any new data structures that depend on the size of arr. Instead, the function uses the call stack to keep track of the recursive calls. Since the maximum depth of the recursive calls is O(logn), where n is the size of arr, the space complexity of this function is O(logn). As the size of arr increases, the amount of memory required to execute the function grows logarithmically.
Time
An example of an O(2^n) algorithm is the recursive implementation of the Fibonacci sequence. The Fibonacci sequence is a series of numbers where each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. The recursive implementation of the Fibonacci sequence calculates each number by recursively calling itself with the two preceding numbers until it reaches the base case (i.e., the first or second number in the sequence). The algorithm takes O(2^n) time in the worst case because it has to calculate each number in the sequence by making two recursive calls.
![A visualization of calculating the fibonacci sequence]
def fibonacci(n):
if n <= 1:
return n
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
#print(fibonacci(5))
#print(fibonacci(10))
#print(fibonacci(20))
#print(fibonacci(30))
print(fibonacci(40))
102334155
Space
This function takes a set s as input and generates all possible subsets of s. The function does this by recursively generating the subsets of the set without the first element, and then adding the first element to each of those subsets to generate the subsets that include the first element. The function creates a new list for each recursive call that stores the subsets, and each element in the list is a new list that represents a subset. The number of subsets that can be generated from a set of size n is 2^n, so the space complexity of this function is O(2^n). As the size of the input set increases, the amount of memory required to execute the function grows exponentially.
def generate_subsets(s):
if not s:
return [[]]
subsets = generate_subsets(s[1:])
return [[s[0]] + subset for subset in subsets] + subsets
print(generate_subsets([1,2,3]))
#print(generate_subsets(numbers))
[[1, 2, 3], [1, 2], [1, 3], [1], [2, 3], [2], [3], []]
Using the time library, we are able to see the difference in time it takes to calculate the fibonacci function above.
- Based on what is known about the other time complexities, hypothesize the resulting elapsed time if the function is replaced.
import time
start_time = time.time()
print(fibonacci(34))
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken:", total_time, "seconds")
start_time = time.time()
print(fibonacci(35))
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken:", total_time, "seconds")
5702887 Time taken: 1.7559030055999756 seconds 9227465 Time taken: 2.599522352218628 seconds
Hacks
- Record your findings when testing the time elapsed of the different algorithms.
- Although we will go more in depth later, time complexity is a key concept that relates to the different sorting algorithms. Do some basic research on the different types of sorting algorithms and their time complexity.
- Why is time and space complexity important when choosing an algorithm?
- Should you always use a constant time algorithm / Should you never use an exponential time algorithm? Explain?
- What are some general patterns that you noticed to determine each algorithm's time and space complexity?
Complete the Time and Space Complexity analysis questions linked below. Practice